Código para obtener la primera derivada por coeficientes de una función

Como se puede consultar en el libro: transformada de Fourier para peatones, podemos definir la derivada Yk como la “primera diferencia central” de la función F:

La cual tiene una función de transferencia, que no presenta problemas de corrimientos de fase:

Sin embargo, presenta un efecto de filtro muy pronunciado a frecuencias altas.

El siguiente código matlab aplicado a la función sin^2(x) con un paso de 0.1 funciona muy bien. En las figuras de salida del script se observan la función original, la derivada teórica y la derivada obtenida. Observe que presenta un comportamiento muy similar las dos derivadas. Efectivamente, cuando comparamos la derivada obtenida sobre la deriva teórica obtenemos en la gráfica una recta identidad. Por todo lo anterior, afirmamos que es un buen algoritmo para operar la derivada.

%%Script que calcúla numéricamente la primera derivada de la función:

%%sin(x)^2.

clear all

close all

clc

%Definiendo intervalos

x=0:0.01:1;

%función original:

funcion=(sin(x)).^2;

%preparando parámetros:

s=length(funcion); %longitud de la funcion

Y=zeros(1,s); % espacio de memoria para la derivada numerica

% Algoritmo de primera derivada

for k=2:s-1

Y(k)=(funcion(k+1)-funcion(k-1))/(2*0.01);

end

% Graficación de funciones teoricas y su compraración con la estimación

% numerica de la primer derivada

figure

subplot(2,1,1)

hold on

plot(x,funcion,'r') % función original

plot(x,2*sin(x).*cos(x), '-b') % derivada teorica de la funcion original

plot(x,Y,'ok') % derivada numerica obtenida

axis([0,1.04,0,1.1]);

xlabel('Vector <>')

ylabel('Funciones utilizadas')

text(0.02,0.8,'Funciones Sin^2(x) (rojo), derivada teorica (azul), derivada numerica (negro)')

box on

hold off 

subplot(2,1,2)

plot(2*sin(x).*cos(x),Y,'-b')% comparacion entre funciones;

% derivada teorica contra la derivada numerica

xlabel('Función 2*sin(x).*cos(x), derivada teorica')

ylabel('Derivada numerica obtenida')

axis([0,1.04,0,1.1]);

grid

%%% fin del script 

Ejercicios:

Matlab tiene su comando/función para hacer la derrivada: diff, su algoritmo de trabajo es:


1) ¿Cómo se compara este algoritmo con el propuesto en el post?

2) Muestre ejemplos del uso de este comando

3) ¿Cuales son las limitaciones de esta forma de definir la derivada?

Enlaces relacionados:

Capítulo 2, Derivación numérica del curso de métodos numéricos de Agustín A. Rosas.